默比乌斯的五位王子问题和四色问题之间有什么联系？

四色问题是由弗朗西斯·格思里在 1852 年首先提出的。然而，人们有时候会错误地认为这个问题早在 1840 年前后就出现了。这种观点认为，德国数学家和天文学家奥古斯特·费迪南德·默比乌斯（August Ferdinand Möbius）在当时的一次讲座中提出了这个问题。从表面上看，默比乌斯提出的五位王子问题与四色问题很像。就让我们来看看，为什么有人会把它们搞混吧。很多年里，默比乌斯一直是德国莱比锡大学的天文学教授兼莱比锡天文台台长。在数学领域，数论里的默比乌斯函数和几何学里的默比乌斯变换都是以他的姓氏命名的。但最著名的恐怕要算“默比乌斯带”（也称为“默比乌斯环”）了，这是一种将一根矩形长条的一端先旋转 180°，再把它的两端粘接起来所形成的奇怪东西（见下图）。默比乌斯带只有一个面和一条边，这意味着，一只蚂蚁可以在不离开表面或跨过边界的情况下，由一点出发爬到面上的任意一点。当默比乌斯在 1858 年创造这个东西的时候，他已经 68 岁了。尽管光学教授约翰·贝内迪克特·利斯廷（Johann Benedict Listing）在六个月之前就已经提出了相同的构想，但他并没有因为优先发现而获得应有的荣誉。在默比乌斯的一次几何学讲座中，他提出了这样的问题，该问题显然是从他在莱比锡大学的朋友、语言学家、对数学抱有极大兴趣的本杰明·戈特霍尔德·魏斯克（Benjamin Gotthold Weiske）那里受到启发后想到的。五位王子问题从前，在印度有一位拥有广阔疆域和五个儿子的国王。在国王的遗诏中，他要求在自己死后，五个儿子将国土分为五份，但这五块土地必须每块都与另外四块有公共边界线（不能只有公共边界点）。为了满足这样的要求，土地该怎么分呢？在下一次讲座中，默比乌斯的学生纷纷表示，尽管他们努力试着解答这个问题，但都没有成功。默比乌斯大笑着对学生说，很抱歉让他们徒劳一场了，因为这样的分割方式是不可能实现的。人们很容易直观地发现，为什么默比乌斯提出的问题无解。这是因为，假设前三个儿子分到的土地为 A、B 和 C，这三块土地两两共有边界线，如下图 (a) 所示。那么，属于第四个儿子的土地 D 要么被土地 A、B 和 C 完全包围，要么完全在 A、B 和 C 之外，如下图 (b) 和图 (c) 所示。这两种情况都会使属于第五个儿子的土地 E 无法与 A、B、C 和 D 共有边界线。后来，海因里希·蒂策扩展了默比乌斯的五位王子问题，他提出了一个与此相关的新问题。五座宫殿问题国王又要求他的五个儿子必须在他们各自的土地上营造一座宫殿，然后铺设将宫殿两两相连的道路，而道路必须彼此不相交。如何铺设这些道路呢？这个问题同样是无解的。与前面五位王子问题无解的情况类似，我们可以说明为什么它也是无解的。假设属于前三个儿子的宫殿为 A、B 和 C。这三座宫殿可以如上图 (a) 所示的那样，在没有相交的情况下彼此有互连的道路。那么，属于第四个儿子的宫殿 D 要么坐落在由连接 A、B 和 C 的道路所组成的区域内，要么在区域外，这两种情况如下图 (b) 和图 (c)所示。在这两种情况下，都无法让属于第五个儿子的宫殿 E 拥有既能通往 A、B、C 和 D，又不与其他任何道路相交的道路。请注意，如果这两个问题中的任意一个有解，那么都可以推导出另一个问题的解：如果五位王子能将王国分割成两两相邻的五块土地，那么他们也就能在自己的土地上建造宫殿后，铺设通往其他各个宫殿且不相交的道路；反之，如果五位王子能建造出两两之间由不相交的道路相连的宫殿，那么，他们就能基于这五座宫殿将王国分割成五块互邻的土地。此外，如下图所示，如果国王只有四个儿子，那么土地是很容易分割的，而宫殿之间也可以铺设两两相连且不相交的道路——在四个儿子的情况下，两个问题的解可以相互转化。在结束关于默比乌斯的五位王子问题的讨论之前，还得提一下海因里希·蒂策给出的“解”。他是这样解释的：五位王子因为意识到父王的遗愿无法实现而陷入了绝望。就在这时，出现了一位流浪的巫师，他声称能解决这个问题……可以想象，最终他得到了丰厚的报酬。巫师的办法是在五块土地中不相邻的两块土地之间用一座桥相连，如下图所示。当然，这是违规的，因为我们要求整个王国是画在一个平面上的。不过，巫师的办法可以用于环面上的类似问题。事实上，对于这类问题，国王可以最多有七个儿子。上图给出了在环面上分割出七块互邻的土地的方法，每块土地分给七个儿子中的一个。但是，如果我们把问题严格限制在平面上，那么根据前面的讨论，能实现两两互邻的土地最多只能有四块——在平面上，不存在五块两两互邻的土地。默比乌斯的五位王子问题和四色问题之间有什么联系？为什么二者容易被混为一谈呢？在回答这个问题之前，让我们先喝杯茶，来厘清一些逻辑问题。我可以毫无疑问地说：如果茶太烫，那么我就没办法喝。另一种表述方式是将它颠倒过来说：如果我能喝茶，那么它就不会太烫。但我不能这样说：如果茶并不太烫，那么我就能喝。可能有很多“我不能喝”的其他原因，比如可能因为茶太浓、太甜，甚至是有只苍蝇在里面。针对这种逻辑，我们再举一个算术上的例子，让我们来看看整数的整除性：如果一个整数以 0 结尾，那么它能被 5 整除。比如说，10、70 和 530 都以 0 结尾，它们都能被 5 整除。反过来说，我们可以有下面的推论：如果一个整数不能被 5 整除，那么它不可能以 0 结尾。比如说，11、69 和 534 都不能被 5 整除，这些数没有一个是以0 结尾的。但我们不能这样说：如果一个整数能被 5 整除，那么它以 0 结尾。这是因为，还有很多不以 0 结尾的整数能被 5 整除，比如 15、75 和 535。逻辑学家喜欢用符号来表示这类陈述。如果我们用字母 P 代表“茶太烫”或者“一个整数以 0 结尾”，用字母 Q 代表“我不能喝”或者“它能被 5 整除”，那么我们就能将上面提到的两个推理案例中的第一个陈述写成如下形式：如果 P 为真，那么 Q 为真，或者等价地说，P 蕴含 Q。反过来，我们可以说：如果 Q 为假，那么 P 为假，或者说，非 Q 蕴含非 P。但我们不能说：如果 P 为假，那么 Q 为假，或者说，非 P 蕴含非 Q。让我们回过头来讨论默比乌斯的五位王子问题。假设国王的遗愿可以满足，那么，这五位王子中任意一位的土地都能和其他四位王子的土地有公共边界线，也就是说，存在五块两两互邻的土地，且每块都与其他四块相邻。如果我们想用不同的颜色给这五块土地着色，那么就要用到五种颜色（每块土地一种颜色）。如此一来，四色定理不成立。因此我们得到这样的结论：如果存在有五块互邻土地的地图，那么四色定理不成立。在这里，P 代表“存在有五块互邻土地的地图”，Q 代表“四色定理不成立”。比照之前的情况，将它反过来说，我们得到：如果四色定理成立，那么不存在有五块互邻土地的地图。但我们不能说：如果不存在有五块互邻土地的地图，那么四色定理成立。综上所述，即便证明了默比乌斯的问题无解，还是不能证明四色定理。多年来，很多人用证明地图上不可能有五块互邻土地的方法去试着证明四色定理。但是，正如我们刚才讨论的，这并不能得到想要的结果：在逻辑上，这种方法就不对。粗心的德国几何学家理查德·巴尔策（Richard Baltzer）就犯过这样的错误。1885 年 1 月 12 日，他在莱比锡科学学会的一个讲座上评述了（在默比乌斯遗稿中发现的）五位王子问题，并解释了为什么不存在五块互邻的土地。巴尔策随后发表了这个讲座的内容，并错误地宣称由他的证明可以立刻推导证明四色定理。美国布林茅尔学院的伊莎贝尔·麦迪逊（Isabel Maddison）读到了巴尔策的论文。1897 年，她在著名的《美国数学月刊》上发表了《关于四色问题历史的笔记》，文中提到了巴尔策的论文，并评论说：“看起来，人们并没有注意到默比乌斯在 1840 年的讲座中，以一种略微不同的形式提出了这个问题。”此后，认为默比乌斯第一个提出四色问题的说法渐渐被越来越多的人接受，而且，一些流传甚广的数学著作还强化了这种错误观点，比如埃里克·坦普尔·贝尔（Eric Temple Bell）所著的《数学的历程》。直到 1959 年，这个观点才由几何学家 H. S. M. 考克斯特（H. S. M. Coxeter）纠正。从那时起，弗朗西斯·格思里作为四色问题的真正提出者，才得到人们的认可。上文节选自图灵《四种颜色就够了》，【遇见数学】已获转发授权。作者：[英] 罗宾·威尔逊（Robin Wilson）译者：何生美国数学协会“欧拉图书奖”获奖作品46篇思考笔记，300余幅手绘插图，每章附有思考题，唤醒你的“数学力”从代数、几何、逻辑学、数学史到生活中的趣事，展现丰富的数学思想

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